巧作三線合一構造全等三角形

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      “查看《初中數學典型題思路分析》及贈送資料.

      本文摘自《初中數學典型題思路分析》的計劃增補幾何模型資料!

      一線三垂直模型構造全等三角形

      【模型說明】

      三線合一:等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊,這就是說,等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

      等腰三角形三線合一的應用非常廣泛,它包含了多層意義,可以用來證明角相等、線段相等、垂直關系等。

      等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關等腰三角形問題的輔助線,由于這條線可以把頂角和底邊折半,所以常通過它來證明線段或的倍分關系。在等腰三角形中,雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合,添加輔助線時,有時作哪條線都可以,有時需要作頂角的平分線,有時需要作高或中線,這要視具體情況而定。

      【典型例題1】

      如圖,

      ABC

      中,

      AC

      =2

      AB

      ,

      AD

      平分

      BAC

      BC

      D

      ,

      E

      AD

      上一點,且

      EA

      =

      EC

      ,求證:

      EB

      AB

      .

      【答案解析】

      證明:作

      EF

      AC

      F

      ,

      EA

      =

      EC

      ,

      AF

      =

      FC

      =

      AC

      AC

      =2

      AB

      AF

      =

      AB

      AD

      平分

      BAC

      BC

      D

      更多內容見公眾號:初中數學解題思路

      ∴∠

      BAD

      =∠

      CAD

      BAE

      FAE

      中,

      AB

      =

      AF

      ,

      BAD

      =∠

      CAD

      ,

      AE

      =

      AE

      ∴△

      ABE

      ≌△

      AFE

      (

      SAS

      )

      ∴∠

      ABE

      =∠

      AFE

      =90°

      EB

      AB

      .

      【典型例題2】

      如圖,已知在等腰直角三角形

      ABC

      中,

      AB=AC

      ,

      ∠BAC=90°

      ,

      BF

      平分

      ∠ABC

      ,

      CD⊥BF

      BF

      的延長線于點

      D.

      求證:

      BF=2CD.

      【答案解析】

      證明:延長

      BA

      CD

      的延長線于點

      E.

      ∵BF

      ∠CBA

      的角平分線

      ∴∠CBF=∠DBA

      ∵BD⊥CE

      ∴∠BDC=∠EDB

      ∵∠CBF=∠DBA

      ,

      BD=BD

      ,

      ∠BDC=∠EDB

      ∴△BDC≌△BDE

      更多內容

      見公眾號:

      初中數學解題思路

      ∴CD=DE

      ∵∠BAC=90°

      ∴AC⊥AB

      ,即

      △BAF

      是直角三角形

      ∵∠BAC=90°

      ,

      ∠BDC=90°

      ∴∠BAC=∠BDC

      ∵∠DBA+∠BED=∠BDC

      ,

      ∠ECA+∠AEC=∠BAC

      ,

      ∠BAC=∠BDC

      ,

      ∠AEC=∠BED

      ∴∠DBA=∠ECA

      ∵∠DBA=∠ECA

      ,

      AB=AC

      ,

      ∠BAC=∠CAE=90°

      ∴△CAE≌△BAF

      ∴BF=CE

      ∵CD+DE=CE

      ,

      CD=DE

      ,

      BF=CE

      ∴BF=2CD.

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