巧作三線合一構造全等三角形
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本文摘自《初中數學典型題思路分析》的計劃增補幾何模型資料！
一線三垂直模型構造全等三角形
【模型說明】
三線合一：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。
等腰三角形三線合一的應用非常廣泛，它包含了多層意義，可以用來證明角相等、線段相等、垂直關系等。
等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關等腰三角形問題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，所以常通過它來證明線段或的倍分關系。在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時需要作頂角的平分線，有時需要作高或中線，這要視具體情況而定。
【典型例題1】
如圖，
△ABC
中，
AC
=2
AB
，
AD
平分
∠BAC
交
BC
于
D
，
E
是
AD
上一點，且
EA
=
EC
，求證：
EB
⊥
AB
.
【答案解析】
證明：作
EF
⊥
AC
于
F
，
∵
EA
=
EC
，
∴
AF
=
FC
=
AC
∵
AC
=2
AB
∴
AF
=
AB
∵
AD
平分
∠BAC
交
BC
于
D
更多內容見公眾號：初中數學解題思路
∴∠
BAD
=∠
CAD
在
△BAE
和
△FAE
中，
AB
=
AF
，
∠
BAD
=∠
CAD
，
AE
=
AE
∴△
ABE
≌△
AFE
(
SAS
)
∴∠
ABE
=∠
AFE
=90°
∴
EB
⊥
AB
.
【典型例題2】
如圖，已知在等腰直角三角形
ABC中，
AB=AC
，
∠BAC=90°
，
BF
平分
∠ABC
，
CD⊥BF
交
BF
的延長線于點
D.
求證：
BF=2CD.
【答案解析】
證明：延長
BA交
CD
的延長線于點
E.
∵BF
是
∠CBA
的角平分線
∴∠CBF=∠DBA
∵BD⊥CE
∴∠BDC=∠EDB
∵∠CBF=∠DBA
，
BD=BD
，
∠BDC=∠EDB
∴△BDC≌△BDE
更多內容
見公眾號：
初中數學解題思路
∴CD=DE
∵∠BAC=90°
∴AC⊥AB
，即
△BAF
是直角三角形
∵∠BAC=90°
，
∠BDC=90°
∴∠BAC=∠BDC
∵∠DBA+∠BED=∠BDC
，
∠ECA+∠AEC=∠BAC
，
∠BAC=∠BDC
，
∠AEC=∠BED
∴∠DBA=∠ECA
∵∠DBA=∠ECA
，
AB=AC
，
∠BAC=∠CAE=90°
∴△CAE≌△BAF
∴BF=CE
∵CD+DE=CE
，
CD=DE
，
BF=CE
∴BF=2CD.
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